L’atomo

Formulario sui moti piani

MOTO PARABOLICO

Il moto parabolico consiste nel lanciare un oggetto (proiettile) ad un angolo compreso tra 0° e 90° rispetto al piano orizzontale (schematizzato con l’asse X), in presenza di un campo gravitazionale diretto lungo l’asse verticale (Y).

Nella figura successiva, V0 è la velocità iniziale (vettore) ed è l’“alzo”. La distanza tra l’origine e il punto di caduta è detta “gittata” del proiettile.

Il moto ha due componenti distinte: una orizzontale (rettilineo uniforme) e uno verticale (moto uniformemente accelerato in campo gravitazionale, con velocità iniziale). Le formule sono:

Queste formule ci consentono di ricavare una serie di informazioni. In particolare, dalla prima equazione del secondo sistema possiamo isolare il tempo e sostituirlo nella seconda equazione, ottenendo l’espressione (traiettoria):

La gittata si ottiene ponendo y=0, il punto di massima altezza è a meta gittata, l’altezza massima si ottiene sostituendo metà gittata al posto della x, il tutto nella formula precedente. Invece eventuali domande che riguardano tempi e velocità si affrontano con le prime 4 formule.

Caso generale:

MOTO CIRCOLARE

Il moto circolare uniforme (archi uguali su una circonferenza percorsi in tempi uguali), la velocità è sempre tangente alla circonferenza, l’accelerazione è diretta verso il centro (centripeta). In formule:

Vₜ = ω₀R (velocità tangenziale: ricorda comunque che la velocità è sempre tangenziale)

ac = ω²₀R (accelerazione centripeta, diretta verso il centro)

Ove R è il raggio della circonferenza, T è il periodo (NB – tempo impiegato a percorrere la circonferenza) e ω₀ = 2π / T è detta velocità angolare (iniziale). Si ricordi che f = 1/T, ovvero la frequenza, è definita come il numero di giri al secondo, e si misura in Hertz.

Nel caso di accelerazione angolare uniforme, abbiamo che la velocità angolare non è costante ma varia nel tempo a partire dalla velocità angolare iniziale.

Le grandezze in metri possono essere ricavate dalle precedenti equazioni moltiplicando ambo i membri di entrambe per R (raggio). Ricordiamo che φ deve essere espresso in radianti: per trovare i radianti a partire dai gradi, usare la formula:

Le espressioni per la velocità tangenziale e per l’accelerazione centripeta restano le stesse del moto circolare uniforme, ma stavolta ω non resta costante e quindi le suddette variano con il tempo.

MOTO ARMONICO

Il moto armonico è il moto di un punto Q su un diametro di una circonferenza, ottenuto proiettando il punto P che si muove sulla circonferenza di moto circolare uniforme.

Si noti che:

  • s è la distanza dall’origine e viene usata come coordinata del moto; è positiva se il punto è a destra dell’origine, negativa altrimenti;
  • può essere ricavata dall’angolo di P (coseno) e dal raggio R
  • il punto Q è più veloce se P è vicino al punto più alto (o più basso) della circonferenza, mentre la velocità si annulla se P è agli estremi del diametro
  • la accelerazione di Q si ottiene come aQ = -ω² s, il segno negativo è necessario perché l’accelerazione è diretta in senso contrario all’asse orizzontale
  • la velocità si ottiene con aQ = – ω R sin φ
  • ω è detta pulsazione del moto armonico

Casi particolari di moto armonico:

  • Moto elastico: è il moto di oscillazione di una massa collegata ad una molla.a tal caso, la forza di inerzia F = m a = -mω²s deve equilibrare la forza elastica F = -k s. Dopo alcuni calcoli si ottiene che ω = √ k / m e quindi, se colleghiamo una massa ad una molla, la pulsazione deve essere data dalla formula sopra indicata (dipende cioè dalla costante elastica e dalla massa);
  • Moto del pendolo: è il moto di una massa m collegata ad un filo (flessibile ed inestensibile) di lunghezza l, che oscilla se la posizione di equilibrio viene perturbata. Si ricava, dopo alcuni calcoli, che ω = √g/l , quindi la pulsazione dipende solo dalla accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo ma non dalla massa.

Le leggi di Mendel

Simulazioni scientifiche da browser

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Grigorij Jakovlevič Perelman

Ha risolto uno dei più grandi problemi matematici al Mondo.
Visto e fotografato nella metropolitana della città da un blogger russo, appare nelle immagini fotografiche con i capelli arruffati, la barba incolta e vecchie scarpe quasi come fosse un senzatetto o un mendicante.
L’Istituto Clay annunciò l’assegnazione del premio di 1 milione di dollari a Perelman relativo alla congettura di Poincaré, che il matematico ha rifiutato dicendo: “se la soluzione è quella giusta non serve alcun altro riconoscimento”. Fino ad ora la Congettura di Poincaré, e la sua dimostrazione, rimane l’unico dei Millenium Problems ad essere stato risolto.
Perelman ha rifiutato il suo legittimo spazio nelle strutture della scienza moderna, anche se è diventato il matematico numero uno nel mondo. Rifiuta ogni contatto con i colleghi.
La vita dimostra che grandiosi risultati nella scienza spesso significano solitudine. Nella città di San Pietroburgo si possono incontrare giovani che indossano magliette con la foto di Perelman e la scritta: “Non tutto si può comprare“.
Ignorando le regole di comportamento della comunità scientifica, Perelman ha raggiunto la massima efficacia del suo lavoro continuando a vivere una vita da eremita, in solitudine.

Teorema di Napoleone

Nella geometria elementare del piano, stabilisce che se sui lati di un qualsiasi triangolo ABC si costruiscono, esternamente a esso, tre triangoli equilateri, i centri di questi ultimi sono i vertici di un triangolo equilatero, detto triangolo di Napoleone.